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HCF की फुल फॉर्म “Highest Common Factor” होती है. HCF को हिंदी में “उच्चतम आम कारक” कहते है. गणित में एचसीएफ का फुल फॉर्म हाईएस्ट कॉमन फैक्टर होता है. दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ा गुणनखंड है जो संख्याओं को विभाजित करता है. उदाहरण के लिए, 2, 4 और 6 का एचसीएफ है.
HCF का पूर्ण रूप "उच्चतम सामान्य कारक" है. दो या दो से अधिक संख्याओं (जैसे a, b, c….) का उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) वह उच्चतम संख्या है जिससे a,b,c… विभाज्य हैं, या उच्चतम संख्या जो a,b,c का गुणनखंड है …. आइए फिर से 3 और 5 को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं. 3 और 5 का HCF वह संख्या होगी जिससे 3 और 5 दोनों विभाज्य हों. यहाँ यह 1 है.
HCF,उच्चतम सामान्य कारक के लिए खड़ा है. दो संख्याओं के लिए, यह उनमें से सबसे अधिक उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा. दूसरे शब्दों में, यह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों संख्याओं को पूरी तरह से विभाजित करेगी. उदाहरण के लिए 80 और 70 का एचसीएफ 10 होगा क्योंकि यह सबसे बड़ी संख्या है जो 80 और 70 को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करती है.
दो या दो से अधिक संख्याओं का उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) उनके सभी सामान्य गुणनखंडों में सबसे बड़ा होता है. इसलिए, इसे सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीएफ) भी कहा जाता है. यदि हम कहते हैं कि M, N का उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो M वह उच्चतम संभव संख्या है जो संख्या N को विभाजित करती है. उदाहरण के लिए, 12 और 16 के सार्व गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं. लेकिन 12 और 16 का उच्चतम सामान्य गुणनखंड 4 होगा, जो दोनों संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ है.
एचसीएफ या उच्चतम सामान्य कारक वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं में से प्रत्येक को विभाजित करती है. HCF को महानतम सामान्य माप (GCM) और महानतम सामान्य भाजक (GCD) भी कहा जाता है. एचसीएम और एलसीएम दो अलग-अलग विधियां हैं, जहां एलसीएम या कम से कम सामान्य गुणक का उपयोग किसी भी दो या अधिक संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को खोजने के लिए किया जाता है.
एचसीएफ का फुल फॉर्म हाईएस्ट कॉमन फैक्टर होता है. दो संख्याओं का HCF वह उच्चतम गुणनखंड है जो दो संख्याओं को समान रूप से विभाजित कर सकता है. HCF का मूल्यांकन दो या दो से अधिक संख्याओं के लिए किया जा सकता है. यह किन्हीं दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक है, जो दी गई संख्याओं को समान रूप से या पूर्ण रूप से विभाजित कर सकता है. उदाहरण के लिए: 60 और 75 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 15 है क्योंकि 15 सबसे बड़ी संख्या है जो 60 और 75 दोनों को पूर्ण रूप से विभाजित कर सकती है.
एचसीएफ और एलसीएम: एचसीएफ और एलसीएम फॉर्मूला जानने के इच्छुक छात्र इस लेख को देख सकते हैं. LCM और HCF के फुल फॉर्म क्रमशः लोएस्ट कॉमन मल्टीपल फुल और हाईएस्ट कॉमन फैक्टर हैं. ये अवधारणाएँ स्कूल स्तर के गणित के साथ-साथ उच्च कक्षाओं में भी महत्व रखती हैं. जब गणित में एक ठोस नींव बनाने की बात आती है तो बुनियादी अंकगणित एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है. गणित एक ही समय में कठिन और दिलचस्प है.
यदि अवधारणाएँ शुरू से ही स्पष्ट हैं, तो छात्रों को यह दिलचस्प लगेगी और साथ ही, उन्हें उच्च कक्षाओं में पढ़ाए जाने वाले उन्नत अवधारणाओं को समझने में चुनौतियों का सामना नहीं करना पड़ेगा. एलसीएम एचसीएफ प्रश्नों के साथ-साथ एलसीएम और एचसीएफ समस्याओं, परिभाषाओं, सूत्रों और गणना के तरीकों की सभी महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझने के लिए छात्रों को इस लेख को पढ़ना चाहिए.
दो संख्याओं का एचसीएफ (उच्चतम सामान्य कारक) दी गई संख्याओं के सभी सामान्य कारकों में सबसे बड़ी संख्या है. उदाहरण के लिए, 12 और 36 का एचसीएफ 12 है क्योंकि 12 और 36 का उच्चतम सामान्य कारक है.
एचसीएफ के गुण निम्नानुसार सूचीबद्ध हैं:
दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF प्रत्येक संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित करता है.
दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड होता है.
दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF हमेशा प्रत्येक संख्या से कम या उसके बराबर होता है.
दो या दो से अधिक अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है.
दीर्घ भाग का उपयोग करके दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के चरण नीचे दिए गए हैं: चरण 1: इस पद्धति में, हम बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करते हैं और शेष की जांच करते हैं. चरण 2: फिर, हम पिछले चरण के शेष भाग को नया भाजक बनाते हैं और पिछले चरण का भाजक नया भाज्य बन जाता है. इस चरण के बाद, हम फिर से लंबा विभाजन करते हैं. चरण 3: हम लंबी विभाजन प्रक्रिया को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि हमें शेषफल 0 न मिल जाए. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतिम भाजक उन दो संख्याओं का HCF होगा.
दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं का HCF 1 है. यह इस तथ्य के कारण है कि 1 के अलावा किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं के बीच कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है इसलिए, 1 हमेशा दो क्रमागत संख्याओं के बीच का HCF होता है.
तीन संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का उपयोग करते हैं. आइए चरणों को समझने के लिए 4, 6 और 8 का HCF ज्ञात करें. चरण 1: सबसे पहले, दी गई संख्याओं में से सबसे बड़ी और सबसे छोटी का HCF ज्ञात कीजिए. यहाँ 4 और 8 का HCF 4 है. चरण 2: फिर, तीसरी संख्या का HCF और पहले दो संख्याओं का HCF ज्ञात करें जो पिछले चरण में प्राप्त हुआ था. इसका मतलब है कि हमें 4 और 6 का एचसीएफ खोजने की जरूरत है. तो, एचसीएफ 4 और 6 2 है. इसे दी गई संख्याओं का एचसीएफ माना जाएगा. चरण 3: इसलिए, 4, 6 और 8 का एचसीएफ 2 है.
उच्चतम सामान्य कारक को सबसे बड़ा सामान्य कारक (GCF) या सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) के रूप में भी जाना जाता है. उच्चतम सामान्य कारक सूत्र -
दी गई संख्याओं का उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने का कोई सटीक सूत्र नहीं है. हालाँकि, हम वह कथन लिख सकते हैं जो अभाज्य गुणनखंड पर विचार करते समय दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड खोजने में मदद करता है.
HCF = संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल
दी गई संख्याओं के उच्चतम सामान्य गुणनखंड की गणना के लिए विभिन्न विधियों को परिभाषित किया गया है. गणित में दो या दो से अधिक संख्याओं के एचसीएफ की गणना के लिए अक्सर उपयोग की जाने वाली तीन तकनीकें हैं:
कारक विधि को सूचीबद्ध करके एचसीएफ
अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF
विभाजन विधि द्वारा HCF
आइए प्रत्येक मामले में एक उदाहरण की सहायता से इन सभी विधियों को जानें.
इस पद्धति में, हमें दी गई संख्याओं के गुणनखंडों को सूचीबद्ध करना होगा और फिर सभी सामान्य गुणनखंडों में से सबसे बड़ा चुनना होगा.
उदाहरण: 32 और 24 का उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड
समाधान:
32 के गुणनखंड = 1, 2, 4, 8, 16, 32
24 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
यहां, कारकों की सूची में सबसे बड़ी संख्या 8 है.
इसलिए, एचसीएफ (32, 24) = 8.
दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा ज्ञात किया जा सकता है. यहां, हमें दी गई संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना है और प्रत्येक उभयनिष्ठ गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल प्राप्त करना है. आइए नीचे दिए गए उदाहरण की मदद से इस प्रक्रिया को समझते हैं: उदाहरण: 36 और 84 का उच्चतम सामान्य गुणनखंड
समाधान:
36 का अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32
84 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7
अत: 36 और 84 का उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड = 22 × 3 = 4 × 3 = 12
एचसीएफ (36, 84) = 12
भाग विधि द्वारा HCF ज्ञात करना -
उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात करने की विभाजन विधि सरल है और इसे शीघ्रता से किया जा सकता है. भाग का उपयोग करके दी गई दो संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का अध्ययन करें.
चरण 1: दी गई दो संख्याओं में से सबसे बड़ी संख्या को सबसे छोटी संख्या से विभाजित करें.
चरण 2: शेष की जाँच करें, यदि यह 0 नहीं है, तो इसे एक नया भाजक बनाएं और पिछले भाजक को नए लाभांश के रूप में लिखें. फिर विभाजन करें.
चरण 3: इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि शेषफल 0 के बराबर न हो जाए. साथ ही, अंतिम भाजक दी गई दो संख्याओं का HCF होगा.
आइए इस विधि की बेहतर समझ के लिए नीचे दिए गए उदाहरण पर एक नज़र डालते हैं.