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OLS की फुल फॉर्म “Ordinary Least Squares” होती है. OLS को हिंदी में “सामान्य कम चौकोर” कहते है. साधारण कम से कम वर्ग, या रैखिक कम से कम वर्ग, वर्ग अवशेषों के योग को कम करके एक प्रतिगमन मॉडल में मापदंडों का अनुमान लगाते हैं. यह विधि डेटा बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचती है जो देखे गए मानों और संबंधित फिट किए गए मानों के बीच वर्ग अंतर के योग को कम करती है.
आँकड़ों में, साधारण कम से कम वर्ग (OLS) एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में अज्ञात मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक प्रकार की रैखिक कम से कम वर्ग विधि है. OLS कम से कम वर्गों के सिद्धांत द्वारा व्याख्यात्मक चर के एक सेट के एक रैखिक कार्य के मापदंडों को चुनता है: दिए गए डेटासेट में देखे गए आश्रित चर (देखे जा रहे चर के मान) के बीच अंतर के वर्गों के योग को कम करना और उन पर भविष्यवाणी की गई स्वतंत्र चर के रैखिक कार्य द्वारा.
ज्यामितीय रूप से, इसे वर्ग दूरी के योग के रूप में देखा जाता है, आश्रित चर की धुरी के समानांतर, सेट में प्रत्येक डेटा बिंदु और प्रतिगमन सतह पर संबंधित बिंदु के बीच - अंतर जितना छोटा होगा, मॉडल उतना ही बेहतर होगा. . परिणामी अनुमानक को एक सरल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, विशेष रूप से एक साधारण रैखिक प्रतिगमन के मामले में, जिसमें प्रतिगमन समीकरण के दाईं ओर एक एकल प्रतिगामी होता है.
OLS अनुमानक तब संगत होता है जब प्रतिगामी बहिर्जात होते हैं, और - गॉस-मार्कोव प्रमेय द्वारा - रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों के वर्ग में इष्टतम जब त्रुटियां समलिंगी और क्रमिक रूप से असंबंधित होती हैं. इन शर्तों के तहत, ओएलएस की विधि न्यूनतम-विचरण माध्य-निष्पक्ष अनुमान प्रदान करती है जब त्रुटियों में परिमित भिन्नताएं होती हैं. अतिरिक्त धारणा के तहत कि त्रुटियां सामान्य रूप से वितरित की जाती हैं, ओएलएस अधिकतम संभावना अनुमानक है.
साधारण कम से कम वर्ग (OLS) एक रेखीय प्रतिगमन तकनीक है जिसका उपयोग डेटा बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्वोत्तम-फिटिंग लाइन खोजने के लिए किया जाता है. यह एक लोकप्रिय तरीका है क्योंकि इसका उपयोग करना आसान है और अच्छे परिणाम देता है. इस ब्लॉग पोस्ट में, हम OLS की बुनियादी बातों पर चर्चा करेंगे और यह समझने में आपकी मदद करने के लिए कुछ उदाहरण प्रदान करेंगे कि यह कैसे काम करता है. डेटा वैज्ञानिकों के रूप में, प्रतिगमन मॉडल में इसका उपयोग करने से पहले OLS की अवधारणाओं को सीखना बहुत महत्वपूर्ण है.
साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) प्रतिगमन विश्लेषण का एक सांख्यिकीय तरीका है जो एक या एक से अधिक स्वतंत्र चर और एक आश्रित चर के बीच संबंध का अनुमान लगाता है; विधि एक सीधी रेखा के रूप में कॉन्फ़िगर किए गए आश्रित चर के देखे गए और अनुमानित मूल्यों के बीच अंतर में वर्गों के योग को कम करके संबंधों का अनुमान लगाती है. इस प्रविष्टि में, ओएलएस प्रतिगमन पर एक द्विचर मॉडल के संदर्भ में चर्चा की जाएगी, अर्थात, एक मॉडल जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर (एक्स) है जो एक आश्रित चर (वाई) की भविष्यवाणी करता है. हालाँकि, OLS प्रतिगमन का तर्क आसानी से बहुभिन्नरूपी मॉडल तक बढ़ा दिया जाता है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं.
सामाजिक वैज्ञानिक अक्सर दो चरों के बीच संबंधों के बारे में प्रश्नों से चिंतित रहते हैं. इनमें निम्नलिखित शामिल हैं: क्या महिलाओं में शिक्षा और प्रजनन क्षमता के बीच कोई संबंध है? क्या अधिक शिक्षित महिलाओं के कम बच्चे होते हैं, और कम पढ़ी-लिखी महिलाओं के अधिक बच्चे होते हैं? देशों के बीच, क्या सकल राष्ट्रीय उत्पाद (जीएनपी) और जीवन प्रत्याशा के बीच कोई संबंध है? क्या जीएनपी के उच्च स्तर वाले देशों में जीवन प्रत्याशा का उच्च स्तर है, और जीएनपी के निम्न स्तर वाले देशों में जीवन प्रत्याशा का निम्न स्तर है? क्या देशों के बीच रोजगार के अवसरों और शुद्ध प्रवास के बीच सकारात्मक संबंध है? लोगों में, क्या उम्र और आधारभूत सिस्टोलिक रक्तचाप के मूल्यों के बीच कोई संबंध है? (लुईस-बेक 1980; विटिंगहॉफ एट अल. 2005).
साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) विधि एक रेखीय प्रतिगमन तकनीक है जिसका उपयोग किसी मॉडल में अज्ञात मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है. विधि वास्तविक और अनुमानित मूल्यों के बीच वर्ग अवशिष्टों के योग को कम करने पर निर्भर करती है. वास्तविक और अनुमानित मूल्यों के बीच चुकता त्रुटियों या अवशिष्टों के योग को कम करके डेटा के लिए सबसे उपयुक्त लाइन खोजने के लिए OLS पद्धति का उपयोग किया जा सकता है. और, वर्गों के अवशेषों के योग को कम करने के लिए कैलकुलस विधि निर्धारण के गुणांक के संबंध में लागत फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न है, आंशिक डेरिवेटिव को शून्य के बराबर सेट करें और प्रत्येक गुणांक के लिए हल करें. OLS विधि को प्रतिगमन या रैखिक प्रतिगमन के लिए कम से कम वर्ग विधि के रूप में भी जाना जाता है.
सहज रूप से बोलते हुए, सामान्य न्यूनतम वर्ग विधि का उद्देश्य पूर्वानुमानित और वास्तविक मूल्यों के बीच, भविष्यवाणी त्रुटि को कम करना है. कोई खुद से पूछ सकता है कि हम सीधे त्रुटियों के योग के बजाय चुकता त्रुटियों के योग को कम करना क्यों चुनते हैं.
यह त्रुटियों के बजाय चुकता त्रुटियों के योग को ध्यान में रखता है क्योंकि वे हैं क्योंकि कभी-कभी वे नकारात्मक या सकारात्मक हो सकते हैं और वे लगभग शून्य मान तक हो सकते हैं.
उदाहरण के लिए, यदि आपके वास्तविक मान 2, 3, 5, 2 और 4 हैं और आपके अनुमानित मान 3, 2, 5, 1, 5 हैं, तो कुल त्रुटि होगी (3-2)+(2-3) +(5-5)+(1-2)+(5-4)=1-1+0-1+1=0 और औसत त्रुटि 0/5=0 होगी, जिससे गलत निष्कर्ष निकल सकते हैं.
हालाँकि, यदि आप माध्य चुकता त्रुटि की गणना करते हैं, तो आपको (3-2)^2+(2-3)^2+(5-5)^2+(1-2)^2+(5-4) मिलता है ^2=4 और 4/5=0.8. त्रुटि को वापस डेटा पर स्केल करके और उसका वर्गमूल लेकर, हमें sqrt(0.8)=0.89 मिलता है, इसलिए औसतन, पूर्वानुमान वास्तविक मूल्य से 0.89 भिन्न होते हैं.
आगे जाने के लिए: साधारण कम से कम वर्ग प्रतिगमन की सीमाएं
ओएलएस प्रतिगमन की सीमाएं एक्स'एक्स मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की बाधा से आती हैं: यह आवश्यक है कि मैट्रिक्स की रैंक पी + 1 हो, और कुछ संख्यात्मक समस्याएं उत्पन्न हो सकती हैं यदि मैट्रिक्स अच्छी तरह से व्यवहार नहीं करता है. XLSTAT डेम्पस्टर (1969) के कारण एल्गोरिदम का उपयोग करता है जो इन दो मुद्दों को दरकिनार करने की अनुमति देता है: यदि मैट्रिक्स रैंक q के बराबर है जहां q p+1 से सख्ती से कम है, तो कुछ चर मॉडल से हटा दिए जाते हैं, या तो क्योंकि वे स्थिर हैं या क्योंकि वे संबंधित हैं समरेखीय चर का एक ब्लॉक.
ओएलएस के क्या फायदे हैं: परिवर्तनीय चयन
यदि उपयोगकर्ता अवलोकनों की संख्या की तुलना में बहुत अधिक संख्या में चर का चयन करता है, तो चर का एक स्वचालित चयन किया जाता है. सैद्धांतिक सीमा n-1 है, क्योंकि अधिक मूल्यों के साथ X'X मैट्रिक्स गैर-उलटा हो जाता है. हालांकि कुछ चरों को हटाना इष्टतम नहीं हो सकता है: कुछ मामलों में हम मॉडल में एक चर नहीं जोड़ सकते हैं क्योंकि यह लगभग कुछ अन्य चर या चर के ब्लॉक के समान है, लेकिन यह हो सकता है कि यह अधिक होगा एक चर को हटाने के लिए प्रासंगिक है जो पहले से ही मॉडल में और नए चर के लिए है. इस कारण से, और उन मामलों को संभालने के लिए जहां बहुत सारे व्याख्यात्मक चर हैं, अन्य तरीकों को विकसित किया गया है जैसे आंशिक कम वर्ग प्रतिगमन (पीएलएस).